Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.2.2. Определение расстояния между дифференциалом площади сферы и пробного тела внутри сферы

Дифференциал силы притяжения между пробным телом m и этим элементарным, дифференциальным участком сферы равна

Мы принимаем, что масса участка определяется неизменной поверхностной плотностью сферы. Поскольку мы приняли, что сфера имеет нулевую толщину, то вместо объёма сразу же указываем площадь. Дифференциал площади мы уже определили (2.1), теперь определим расстояние между объектом и этим участком сферы. Как видно на рисунке, оно описывается уравнением

На рисунке видим соотношения между элементами

Дифференциальный объем сферы массой dM притягивает единичную массу m, находящуюся на удалении r с силой

Эта дифференциальная сила раскладывается на две составляющие, из которых нас интересует только центральная dF_x, по линии, соединяющей центры сферы и притягиваемого тела. Отношение этих сил равно отношению соответствующих сторон a и r подобного треугольника

Подставляем значение силы и преобразуем

Удобнее представить расстояние объекта m от центра сферы в относительном виде, как долю от радиуса сферы R_x = kR₀, где k=0…1. Уравнение силы приобретает вид

Результирующую силу находим интегрированием. Следует пояснить, почему мы выбрали именно такие пределы интегрирования. Дело в том, что всю сферу мы поделили углом μ на "апельсиновые дольки" и результирующую силу находим именно по силам, создаваемым этими дольками. Но, как легко заметить на рисунках, в этом случае другой угол – φ изменяется в пределах от 0 до π.

После перехода к новым обозначениям, обнаруживаем интересное обстоятельство: сила не зависит от радиуса сферы. Зависит от относительного положения тела m, но от радиуса самой сферы – нет. Фактически это означает, что сила притяжения тела одна и та же, каким бы ни был радиус сферы – 100 метров или 100 световых лет. Однако это кажущаяся странность. Мы задали для сферы поверхностную плотность, а она и определяет общую массу сферы, которая однозначно зависит от радиуса сферы. Хотя в маленькой сфере силы создаются её малой массой, а в большой сфере – большой, расстояния также имеют соответствующие величины, это и ведёт к независимости сил от радиуса сферы.

Рассмотрим два граничных случая: тело m находится в центре сферы k = 0 и на её поверхности k = 1. Первый случай

Результат ожидаемый, в центре сферы тело находится в состоянии невесомости. Второй случай

Это табличный интеграл

Результат также ожидаемый: тело на поверхности сферы обязательно будет испытывать силу притяжения.

Рис.2.3. График изменения силы притяжения внутри сферы пробного тела в зависимости от его удалённости от центра

Результат ожидаемый и объяснимый. Этот же график с логарифмической шкалой

Рис.2.4. Логарифмический график изменения силы притяжения внутри сферы пробного тела в зависимости от его удалённости от центра

Интеграл силы (2.3) мы формировали исходя из положительного направления силы в сторону центра сферы. Интегрирование и графики показали положительное значение силы. Из этого следует вывод: тело в пустой сфере притягивается к её центру так, будто там находится некий массивный объект.