Дьявольские простые числа, или Периодическая система натурального ряда

Как известно все натуральные целые числа, кроме единицы имеют по меньшей мере два делителя: единицу и само себя. Те из них, которые не имеют, никаких других делителей называются «простыми». Те числа, которые имеют еще и другие делители называются «составными». Единицу принято, не относить ни к простым ни к составным числам.

То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид 3 век до н.э.). Первой важной задачей теории числе, как определить является ли произвольное число простым или нет.

Первое что может прийти в голову, – это делить данное число на все числа меньшее его. Но надо признать , что этот способ мало удовлетворителен. Некоторые энтузиасты – вычислители за последние 200 лет составили и издали много таблиц простых чисел. Одна из обширных таблиц является таблица Д. Х.Леметра, содержащая все простые числа до 10 000 000. Появились уже таблицы превосходящие это число.

В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами, и многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из всех известных простых чисел.

Основное направление решения задал французский монах Мерсенна (1588–1648г.г.), который начал вычислять простые числа по формуле М_р =2^р – 1, где р- другое простое число. Однако не все они оказались простыми. Например :

М₂ = 2²–1 = 3 – простое

М₃ = 2³–1 = 5 – простое

М₅ = 2⁵–1 = 31 – простое

М₇ = 2⁷–1 = 127 – простое

М₁₁ = 2¹¹–1 = 2047 = 23*89 – составное

Самостоятельно вычислил простое число М₃₁ Леонардо Эйлер (1707–1783 гг) – выдающийся швейцарский математик большую часть жизни проведший в России. Эйлерово число М₃₁ оставалось самым большим простым числом более 100 лет. Следующим выдающимся математиком который вывел формулу простых чисел был Пьер Ферма (1601–1665гг) , который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами по его формуле вычисляются: F_p = 2^{2^p} + 1, были F₀ = 2^{2^0} + 1 =3

F₁ = 2^{2^1} + 1 = 5

F₂ = 2^{2^2} + 1 =17

F₃ = 2^{2^3} + 1 = 257

F₄ = 2^{2^4} + 1=65537

Однако все тот же Леонардо Эйлер показал, что число F₅ является составным.

Общее решение задачи простых чисел показал древнегреческий математик из Александрии Эратосфен (около 200г. до н.э.) с помощью следующей схемы, которая называется «Решетом Эратосфена».

Его схема состоит в следующем: имеется последовательность всех целых чисел:1,( 2), (3), 4, (5), 6, (7), 8, 9, 10,(11), 12, (13), 14, 15, 16, (17), 18, (19), 20, 21 …подчеркивается каждое второе число начиная с 2 (кроме самого числа 2). После этой операции первым подчеркнутым числом будет 3 оно простое взятое в скобки, как и другие простые числа также.