Глава 1
Теория пределов является фундаментальной частью математического анализа и играет ключевую роль в понимании концепций производной и интеграла. Если по существу, то предел функции описывает ее поведение, когда аргумент функции стремится к определенному значению.
Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.
1.Выполнение практических заданий
1. Найти предел функции f(x) = (x^2 +1)/( x^2 – 1) при x стремящегося к бесконечности.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности, можно выполнить следующие шаги:
Разделим числитель и знаменатель на ( x^2 ): [ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 – \frac{1}{x^2}} ]
При ( x \to \infty ), члены ( \frac{1}{x^2} ) стремятся к 0: [ f(x) \to \frac{1 + 0}{1 – 0} = \frac{1}{1} = 1 ]
Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен:
[\lim_{x \to \infty} f(x) = 1]. Ответ: 1.
Традиционное решение
lim (x→к бесконечности)f(x)= lim (x→к бесконечности)(x^2 +1)/( x^2 – 1)=
= lim (x→к бесконечности)(x^2/x^2 + 1/x^2)/( x^2/x^2 – 1/x^2)I числитель и знаменатель функции делим на x^2 I= (1 + 0)/(1 – 0) = 1/1 = 1. Ответ: 1.
2.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^2 при x стремящемся к 1.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \( f(x) = 4x + 2x^2 \) при \( x \) стремящемся к 1, подставим 1 в функцию:
\[f(1) = 4(1) + 2(1)^2 = 4 + 2 = 6\]
Таким образом, предел функции:
\[\lim_{x \to 1} f(x) = 6\].Ответ: 6.
3.Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/( 2x^2 – 5x +2) при x стремящемся к 2.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{2x^2 – 5x + 2}\]
при \( x \) стремящемся к 2, сначала подставим 2 в функцию:
\[f(2) = \frac{2^2 – 3(2) + 2}{2(2^2) – 5(2) + 2} = \frac{4 – 6 + 2}{8 – 10 + 2} = \frac{0}{0}\]
При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Необходимо упростить выражение.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
1. Числитель: \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).
2. Знаменатель: \( 2x^2 – 5x + 2 = (2x – 1)(x – 2) \).
Теперь подставим в предел:
\[f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(2x – 1)(x – 2)}\]
Сократим \( (x – 2) \):\[f(x) = \frac{x – 1}{2x – 1}\]
Теперь найдем предел, подставив \( x = 2 \):
\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2 – 1}{2(2) – 1} = \frac{1}{4 – 1} = \frac{1}{3}\]
Таким образом, предел функции равен:
\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}\].Ответ: 1/3.
Традиционное решение
lim (x→2)f(x)= lim (x→2)(x^2 – 3x+2)/( 2x^2 – 5x +2)= lim (x→2)((x – 1)(x – 2)/( 2x – 1)(x – 2)) =
= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x – 1)/(2x – 1) = 1/3. Ответ: 1/3.
4.Найти предел функции f(x) = ((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x при x стремящемся к 0.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{3x}\]
при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:
\[f(0) = \frac{\sqrt{1+0} – \sqrt{1-0}}{3 \cdot 0} = \frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0}\]
При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \):
\[f(x) = \frac{(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]
В числителе получаем:
\[(\sqrt{1+x})^2 – (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]
Таким образом, выражение становится:
\[f(x) = \frac{2x}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{3(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]
Теперь можем найти предел:
\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{2}{3(1 + 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
Таким образом, предел функции равен:
\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3}\]/.Ответ: 1/3.
Традиционное решение
lim (x→0)f(x)= lim (x→0)((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x)= lim (x→0)(1 + x – 1 + x )/3x((1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)I = 2/(3(1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.
5.Найти предел функции f(x) = (1 – cosx)/5x^2 при x стремящемся к 0.
Нейросеть Маша (СhatGPT-4)
Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{1 – \cos x}{5x^2}\]
при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0:
\[f(0) = \frac{1 – \cos(0)}{5(0)^2} = \frac{0}{0}\].
Получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Используем формулу для приближения функции \( \cos x \) при \( x \) стремящемся к 0:
\[1 – \cos x \approx \frac{x^2}{2}\]
Таким образом, мы можем переписать функцию:
\[f(x) \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{5x^2} = \frac{1}{10}\]
Теперь можем найти предел:\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\]
Таким образом, предел функции равен:
\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\].
Традиционноерешение
lim(x→0)f(x)= lim(x→0)(1- cos x)/5x^2) = lim (x→0)(2sin^2(x/2)/5x^2) = I применим тригонометрическую формулу половинного аргумента (1 – cosx) = 2sin^2(x/2)I = 2/5 lim(x→0) (sin^2(x/2)/4(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)(sin^2(x/2)/(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)((sin(x/2)/(x/2)) = I здесь функция представляет собой первый замечательный предел в квадратеI = (1/10)(1^2) = 1/10/
Ответ: 1/10.
6. Найти предел функции f(x) = (x^2 + 4 + 2x^4)/(x – 2 + 3x^4) при x стремящемся к бесконечности.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности (( x \to \infty )), мы можем использовать алгебраические методы пределов.
Для начала, определим степень числителя и знаменателя:
В числителе ( x^2 + 4 + 2x^4 ) наибольшая степень ( x^4 ).
В знаменателе ( x – 2 + 3x^4 ) также наибольшая степень ( x^4 ).
Теперь применим правило Лопиталя, так как степени числителя и знаменателя одинаковы и равны:
[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} ]
После дифференцирования числителя и знаменателя по ( x ):
[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{16x^3}{12x^3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен ( \boxed{\frac{4}{3}} ).Ответ:4/3.
7.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^3 + 3 при x стремящемся к – 1.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ), мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, функция ( f(x) ) не содержит разрывов в окрестности ( x = -1 ), так что мы можем вычислить предел напрямую.
Вычислим предел:
[ \lim_{{x \to -1}} (4x + 2x^3 + 3) ]
Подставляем ( x = -1 ):
[ f(-1) = 4(-1) + 2(-1)^3 + 3 ]
[ f(-1) = -4 – 2 + 3 ]
[ f(-1) = -3 ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ) равен ( \boxed{-3} ).
Ответ: – 3.
8. Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/(x^2 + 2x – 3) при x стремящемся к 1.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ), мы можем подставить ( x = 1 ) напрямую в выражение функции:
[ f(1) = \frac{1^2 – 3 \cdot 1 + 2}{1^2 + 2 \cdot 1 – 3} ]
[ f(1) = \frac{1 – 3 + 2}{1 + 2 – 3} ]
[ f(1) = \frac{0}{0} ]
Заметим, что получили неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для решения этой неопределённости, мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на ( (x – 1) ), так как ( x – 1 ) является фактором и числителя, и знаменателя:
[ f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ]
Делим числитель и знаменатель на ( (x – 1) ):
[ f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 1)(x + 3)} ]
При ( x \neq 1 ), ( x – 1 ) можно сократить:
[ f(x) = \frac{x – 2}{x + 3} ]
Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 1 ):
[ \lim_{{x \to 1}} \frac{x – 2}{x + 3} = \frac{1 – 2}{1 + 3} = \frac{-1}{4} ]
Итак, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ) равен ( \boxed{-\frac{1}{4}} ).Ответ: 1/4.
Другой вариант решения (с помошью ChatGPT):
Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 1, подставим значение x = 1 в функцию:
f(1) = (1^2 – 31 + 2)/(1^2 + 21 – 3) = (1 – 3 + 2)/(1 + 2 – 3) = 0/0
Получили неопределенность вида 0/0. Для определения предела в этом случае, проведем кратное деление многочленов:
(x^2 – 3x + 2) / (x^2 + 2x – 3) = (x-1)(x-2) / (x+3)(x-1) = (x-2) / (x+3)
Теперь можно подставить x=1:
f(x) = (1-2) / (1+3) = -1 / 4
Ответ: Предел функции f(x) при x стремящемся к 1 равен 1/4.
9. Найти предел функции f(x) = ((1 + 3x)^(1/2) – (2x + 6)^(1/2))/(x^2 – 5x) при x стремящемся к 5.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ), мы начнём с проверки, не возникает ли неопределённости. Подставим ( x = 5 ):
Проверим знаменатель:
[ x^2 – 5x = 5^2 – 5 \cdot 5 = 25 – 25 = 0 ]
Знаменатель равен нулю, что означает, что есть неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для разрешения этой неопределённости применим разложение в ряд Тейлора в окрестности точки ( x = 5 ).
Разложим каждый квадратный корень в ряд Тейлора:
[ \sqrt{1 + 3x} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{3(x – 5)}{4} ]
[ \sqrt{2x + 6} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{x – 5}{4} ]
Теперь подставим разложения в функцию ( f(x) ):
[ f(x) = \frac{\left( 4 + \frac{3(x – 5)}{4} \right) – \left( 4 + \frac{x – 5}{4} \right)}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{3(x – 5)}{4} – \frac{x – 5}{4}}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{2(x – 5)}{4}}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{1}{2}(x – 5)}{x(x – 5)} ]
[ f(x) = \frac{1}{2x} ]
Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 5 ):
[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} ]
Итак, предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ) равен ( \boxed{\frac{1}{10}} ).Ответ: 1/10.
10. Найти предел функции f(x) = (7^x – 3^x)/x при x стремящемся к 0.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ), мы можем использовать формулу для предела функции, в которой в знаменателе стоит ( x ).
Прежде чем вычислять, заметим, что подстановка ( x = 0 ) напрямую в функцию даст неопределённость ( \frac{0}{0} ), поэтому используем разложение в ряд Тейлора для функций ( 7^x ) и ( 3^x ) в окрестности точки ( x = 0 ):
[ 7^x \approx 1 + \ln(7) \cdot x ]
[ 3^x \approx 1 + \ln(3) \cdot x ]
Теперь выразим ( f(x) ) с использованием этих разложений:
[ f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} \approx \frac{(1 + \ln(7)x) – (1 + \ln(3)x)}{x} ]
[ f(x) = \frac{\ln(7)x – \ln(3)x}{x} ]
[ f(x) = \ln(7) – \ln(3) ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ) равен ( \boxed{\ln\left(\frac{7}{3}\right)} ).Ответ:ln7 – ln3.
Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.
Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Решение будет приведено в следующей главе.