Занимательная механика

Предисловие редакции

Яков Исидорович Перельман никогда не был учёным в прямом значении этого слова – не совершал научных открытий, не имел званий и степеней, однако всю свою жизнь посвятил науке. Он никогда не считал себя писателем, но его книги выходили такими большими тиражами, что составили целую научно-популярную библиотеку. Став первым в стране популяризатором физики, геометрии, математики и астрономии, основоположником занимательной науки, одним из первых писателей жанра научно-популярной литературы, он успевал заниматься ещё множеством самых разных дел – преподавал, создавал новые учебные программы, редактировал журналы, участвовал в работе научных обществ, постоянно выступал с докладами.

Популяризацией науки задолго до Перельмана занимались многие авторы, но только он достиг в этом деле огромного мастерства, сумев точно нащупать его секреты и выработать «фирменный» стиль повествования. Профессор физики Петербургского университета Орест Данилович Хвольсон, познакомившись с Перельманом и узнав, что книга написана не учёным-физиком, а учёным-лесоводом, сказал Якову Исидоровичу: «Лесоводов-учёных у нас предостаточно, а вот людей, которые умели бы так писать о физике, как пишете вы, нет вовсе. Мой вам настоятельнейший совет: продолжайте, обязательно продолжайте писать подобные книги и впредь».

В чём же секрет произведений Перельмана? Именно он мастерски умел оперировать сухими цифрами, знал, как с помощью неожиданно простого и понятного сравнения привлечь внимание читателя к сложным научным фактам и явлениям природы. Он сохранил в себе способность удивляться и подмечать в обыденных вещах то, чего не видит большинство людей, и умел увлекательно рассказывать об этом другим. Я.И. Перельман впервые в России предложил перевести стрелку часов на час вперёд в целях экономии горючего, разработал проект первой советской противоградовой ракеты, а в середине 30-х годов он задумал и создал удивительный музей – «Дом занимательной науки», экспонаты которого поражали своими возможностями. Так, простые торговые весы могли без труда отгадать любое задуманное число и фамилию. Даже буфет «Дома занимательной науки» был устроен с разными причудами. Наряду с обычной здесь попадалась и «оперельманенная» посуда. Из бутылки, стоящей в битом льду, наливали кипящий чай, а чайная ложка таяла быстрее сахара, который она размешивала.

Вклад Перельмана в образование трудно переоценить: с 1913 года его книги только на русском языке переиздавались более 300 раз тиражом почти 15 миллионов экземпляров. Библиография Перельмана насчитывает более 1000 статей и заметок, опубликованных им в различных изданиях. И это помимо 47 научно-популярных, 40 научно-познавательных книг, 18 школьных учебников и учебных пособий. Книги Я.И. Перельмана 126 раз издавались в 18 зарубежных странах на более чем 15 языках.

* * *

«Занимательная механика» Я.И. Перельмана впервые была выпущена в 1930 году ленинградским издательством «Время» и с тех пор многократно переиздавалась.

Перед вами книга, по тексту соответствующая четвёртому изданию, вышедшему в 1937 году. Текст практически не претерпел изменений относительно использованных в нём реалий, лишь были внесены необходимые пояснения, учитывающие достижения современной науки. «Занимательная механика» продолжает знакомство читателя с физикой посредством живых примеров, сравнений и фактов, взятых из окружающей нас повседневности. Непростые вопросы, как и всегда у Перельмана, подаются в виде интересных задач, что не просто помогает понять, как работает мир, но и делает постижение науки невероятно увлекательным. Наглядно и образно поданные основы механики будут полезны не только юному, но и взрослому читателю, развивающему свой кругозор.

Глава 1
Основные законы механики

Задача о двух яйцах

Держа в руках яйцо, вы ударяете по нему другим. Оба яйца одинаково прочны и сталкиваются одинаковыми частями. Которое из них должно разбиться – ударяемое или ударяющее? Вопрос был некогда поставлен американским журналом «Наука и изобретения». Журнал утверждал, что, согласно опыту, разбивается чаще «то яйцо, которое двигалось», другими словами – яйцо ударяющее.

«Скорлупа яйца, – пояснялось в журнале, – имеет кривую форму, причём давление, приложенное при ударе к неподвижному яйцу, действует на его скорлупу снаружи; но известно, что, подобно всякому своду, яичная скорлупа хорошо противостоит давлению извне. Иначе обстоит дело, когда усилие приложено к яйцу движущемуся. В этом случае движущееся содержимое яйца напирает в момент удара на скорлупу изнутри. Свод противостоит такому давлению гораздо слабее, чем напору снаружи, и – проламывается».

Когда та же задача была предложена мной в распространённой ленинградской газете, решения поступили крайне разнообразные.

Одни из решающих доказывали, что разбиться должно непременно ударяющее яйцо, другие – что именно оно-то и уцелеет. Доводы казались одинаково правдоподобными, и тем не менее оба утверждения в корне ошибочны! Установить рассуждением, которое из соударяющихся яиц должно разбиться, вообще невозможно, потому что между яйцами ударяющим и ударяемым различия не существует. Нельзя ссылаться на то, что ударяющее яйцо движется, а ударяемое неподвижно. Неподвижно – по отношению к чему? Если к земному шару, то ведь известно, что планета наша сама перемещается среди звёзд, совершая десяток разнообразных движений; все эти движения ударяемое яйцо разделяет так же, как и ударяющее, и никто не скажет, которое из них движется среди звёзд быстрее. Чтобы предсказать судьбу яиц по признакам движения и покоя, понадобилось бы переворошить всю астрономию и определить движение каждого из соударяющихся яиц относительно неподвижных звёзд. Да и это не помогло бы, потому что отдельные видимые звёзды тоже движутся, и вся их совокупность, Млечный Путь, перемещается по отношению к иным звёздным скоплениям.

Яичная задача, как видите, увлекла нас в бездны мироздания и всё же не приблизилась к разрешению. Впрочем, нет, приблизилась, если звёздная экскурсия помогла нам понять ту важную истину, что движение тела без указания другого тела, к которому это движение относится, есть попросту бессмыслица. Одинокое тело, взятое само по себе, двигаться не может, могут перемещаться только два тела — взаимно сближаться или взаимно удаляться. Оба соударяющихся яйца находятся в одинаковом состоянии движения: они взаимно сближаются, – вот всё, что мы можем сказать об их движении. Результат столкновения не зависит от того, какое из них мы пожелаем считать неподвижным и какое – движущимся.

Рис. 1. Какое яйцо разобьётся?

Триста лет назад Галилеем впервые была провозглашена относительность равномерного движения и покоя, их полная равнозначность. Этот принцип относительности классической механики не следует смешивать с принципом относительности Эйнштейна, выдвинутым уже на глазах другого поколения и представляющим дальнейшее развитие первого принципа. Об учении Эйнштейна речь будет в последней главе нашей книги; но для его понимания необходимо хорошо уяснить главные следствия галилеева принципа.

Путешествие на деревянном коне

Из сейчас сказанного следует, что состояние равномерного прямолинейного движения неотличимо от состояния неподвижности при условии обратного равномерного и прямолинейного движения окружающей обстановки. Сказать: «Тело движется с постоянной скоростью» и «Тело находится в покое, но всё окружающее равномерно движется в обратную сторону» – значит утверждать одно и то же. Строго говоря, мы не должны говорить ни так, ни этак, а должны говорить, что тело и обстановка движутся одно относительно друг друга. Мысль эта усвоена далеко не всеми, кто имеет дело с механикой и физикой. А между тем она не чужда была уже автору «Дон Кихота», жившему в XVI веке и не читавшему Галилея. Ею проникнута одна из забавных сцен произведения Сервантеса – описание путешествия прославленного рыцаря и его оруженосца на деревянном коне.

«– Садитесь на круп лошади, – объяснили Дон Кихоту. – Требуется лишь одно: повернуть втулку, вделанную у коня на шее, и он унесёт вас по воздуху туда, где ожидает вас Маламбумо. Но чтобы высота не вызвала головокружения, надо ехать с завязанными глазами.

Обоим завязали глаза, и Дон Кихот дотронулся до втулки».

Окружающие стали уверять рыцаря, что он уже несётся по воздуху «быстрее стрелы».

«– Готов поклясться, – заявил Дон Кихот оруженосцу, – что во всю жизнь мою не ездил я на коне с более спокойной поступью. Всё идёт, как должно идти, и ветер дует.

– Это верно, – сказал Санчо, – я чувствую такой свежий воздух, точно на меня дуют из тысячи мехов.

Так на самом деле и было, потому что на них дули из нескольких больших мехов».

Деревянный конь Сервантеса – прообраз многочисленных аттракционов, придуманных для развлечения публики на выставках и в парках. То и другое основано на полной невозможности отличить состояние покоя от равномерного движения^[1].

Здравый смысл и механика

Многие привыкли противополагать покой движению, как небо – земле и огонь – воде. Это не мешает им, впрочем, устраиваться в вагоне на ночлег, нимало не заботясь о том, стоит ли поезд или мчится. Но в теории те же люди зачастую убеждённо оспаривают право считать мчащийся поезд неподвижным, а рельсы, землю под ними и всю окрестность – движущимися в противоположном направлении.

«Допускается ли такое толкование здравым смыслом машиниста? – спрашивает Эйнштейн, излагая эту точку зрения. – Машинист возразит, что он топит и смазывает не окрестность, а паровоз, следовательно, на паровозе должен сказаться и результат его работы, т. е. движение».

Довод представляется на первый взгляд очень сильным, едва ли не решающим. Однако вообразите, что рельсовый путь проложен вдоль экватора и поезд мчится на запад, против вращения земного шара. Тогда окрестность будет бежать навстречу поезду, и топливо будет расходоваться лишь на то, чтобы мешать паровозу увлекаться назад, – вернее, чтобы помогать ему хоть немного отставать от движения окрестности на восток. Пожелай машинист удержать поезд совсем в покое (относительно солнца), он должен был бы топить и смазывать паровоз так, как нужно для скорости в две тысячи километров в час.

Чтобы убедить тех, кто ещё сомневается в законности взаимной замены «покоя» и «движения», приведу слова одного из немногих противников учения Эйнштейна, профессора Ленарда. Критикуя Эйнштейна, он, однако, не посягает на теорию относительности Галилея. Вот что он пишет:

«Пока движение поезда остаётся вполне равномерным, нет никакой возможности определить, что именно находится в движении и что в покое: поезд или окрестность.

Устройство материального мира таково, что всегда во всякий данный момент оно исключает возможность абсолютного решения вопроса о наличии равномерного движения или покоя и оставляет место только для изучения равномерного движения тел относительно друг друга, так как участие наблюдателя в равномерном движении не отражается на наблюдаемых явлениях и их законах».

Поединок на корабле

Можно представить такую обстановку, к которой иные, пожалуй, затруднятся практически применить принцип относительности. Вообразите, например, на палубе движущегося судна двух стрелков, направивших друг в друга своё оружие. Поставлены ли оба противника в строго одинаковые условия? Не вправе ли стрелок, стоящий спиной к носу корабля, жаловаться на то, что пущенная им пуля летит медленнее, чем пуля противника?

Конечно, по отношению к воде моря, пуля, пущенная против движения корабля, летит медленнее, чем на неподвижном судне, а пуля, направленная к носу, летит быстрее. Но это нисколько не нарушает условий поединка: пуля, направленная к корме, летит к мишени, которая движется ей навстречу, так что при равномерном движении судна недостаток скорости пули как раз восполняется встречной скоростью мишени; пуля же, направленная к носу, догоняет свою мишень, которая удаляется от пули со скоростью, равной избытку скорости пули.

В итоге обе пули по отношению к своим мишеням движутся совершенно так же, как и на корабле неподвижном.

Не мешает прибавить, что всё сказанное относится только к такому судну, которое идёт по прямой линии и притом с постоянной скоростью.

Рис. 2. Чья пуля раньше достигнет противника?

Здесь уместно привести отрывок из той книги Галилея, где был впервые высказан классический принцип относительности (книга эта, к слову сказать, едва не привела её автора на костёр инквизиции).

«Заключите себя с приятелем в просторное помещение под палубой большого корабля. Если движение корабля будет равномерным, то вы ни по одному действию не в состоянии будете судить, движется корабль или стоит на месте. Прыгая, вы будете покрывать по полу те же расстояния, что и на неподвижном корабле. Вы не сделаете вследствие быстрого движения корабля больших прыжков к корме, чем к носу корабля, хотя, пока вы находитесь в воздухе, пол под вами бежит к части, противоположной прыжку. Бросая вещь товарищу, вам не нужно с большей силой кидать её от кормы к носу, чем наоборот… Мухи будут летать во все стороны, не держась преимущественно той стороны, которая ближе к корме» и т. д.

Теперь понятна та форма, в которой обычно высказывается классический принцип относительности: «Все движения, совершающиеся в какой-либо системе, не зависят от того, находится система в покое или перемещается прямолинейно и равномерно».

Аэродинамическая труба

На практике иной раз оказывается чрезвычайно полезным заменять движение покоем и покой движением, опираясь на классический принцип относительности. Чтобы изучить, как действует на самолёт или на автомобиль сопротивление воздуха, сквозь который они движутся, обычно исследуют «обращённое» явление: действие движущегося потока воздуха на покоящийся самолёт. В лаборатории устанавливают широкую аэродинамическую трубу (рис. 3), устраивают в ней ток воздуха и изучают его действие на неподвижно подвешенную модель аэроплана или автомобиля. Добытые результаты с успехом прилагают к практике, хотя в действительности явление протекает как раз наоборот: воздух неподвижен, а аэроплан или автомобиль прорезают его с большой скоростью.

Рис. 3. Разрез аэродинамической трубы ЦАГИ

Воздух засасывается в трубку пропеллером е через решётку (f – электродвигатель). Действие тока воздуха на аэроплан изучается с помощью приборов р, g, m. Подвес q – так называемые аэродинамические весы – уравновешивает давление воздушного потока

Читателю будет интересно узнать, что одна из крупнейших в мире аэродинамических труб устроена в Москве в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ). Она имеет восьмиугольную форму; длина её 50 м, а поперечник в рабочей части – 6 м. Благодаря таким размерам в ней умещается не уменьшенная лишь модель, а корпус настоящего аэроплана с пропеллером или целый автомобиль в натуральную величину. Более крупная аэродинамическая труба сооружена во Франции, её эллиптическое сечение имеет размеры 16 × 18 м.

На полном ходу поезда

Другой пример плодотворного применения классического принципа относительности беру из заграничной железнодорожной практики. В Англии и в Америке тендер^[2] нередко пополняется водой на полном ходу поезда. Достигается это остроумным «обращением» одного общеизвестного механического явления, а именно: если в поток воды погрузить отвесно трубку, нижний конец которой загнут против течения (рис. 4), то текущая вода проникает в эту так называемую трубку Пито и устанавливается в ней выше уровня реки на определённую величину Н, зависящую от скорости течения. Железнодорожные инженеры «обратили» это явление: они двигают загнутую трубку в стоячей воде, и вода в трубке поднимается выше уровня водоёма. Движение заменяют покоем, а покой – движением.

Осуществляют это так: на станции, где тендер паровоза должен, не останавливаясь, запастись водой, устраивают между рельсами длинный водоём в виде канавы (рис. 4). С тендера спускают изогнутую трубу, обращённую отверстием в сторону движения. Вода, поднимаясь в трубе, подаётся в тендер быстро мчащегося поезда (рис. 4 вверху справа).

Рис. 4. Как паровозы в Америке на полном ходу набирали воду Между рельсами устраивался длинный водоём, в который погружалась из тендера труба

Вверху слева – труба Пито. При погружении её в текущую воду уровень в трубе поднимается выше, чем в водоёме

Вверху справа – применение трубы Пито для набора воды в тендер движущегося поезда

Как высоко может быть поднята вода этим оригинальным способом? По законам той отрасли механики, которая носит название гидродинамика и занимается движением жидкостей, вода в трубе Пито должна подняться на такую же высоту, на какую взлетело бы тело, подброшенное отвесно со скоростью течения воды; а эта высота (Н) определяется формулой:

где V — скорость воды, g — ускорение силы тяжести, равное 9,8 м в секунду за секунду (м/с²). В нашем случае скорость воды по отношению к трубе равна скорости поезда; взяв скромную скорость 36 км/ч, имеем У= 10 м/с; следовательно, высота поднятия воды:

Ясно, что, каковы бы ни были потери на трении, высота поднятия более чем достаточна для успешного наполнения тендера^[3].

Коперник и Птолемей

У читателя, без сомнения, уже родился вопрос: как же с точки зрения классического принципа относительности надо разрешать спор Коперника и Птолемея о движении Земли? Хотя в этом случае речь идёт не о прямолинейном движении, и, следовательно, вопрос попадает в область учения Эйнштейна, мы всё же не оставим его здесь без рассмотрения^[4].

Итак, что вокруг чего обращается^[5]: Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли?^[6]

Такая постановка вопроса неправильна. Спрашивать, какое из двух указанных движений совершается «в действительности», бессмысленно: тело может двигаться лишь по отношению к другому телу; двигаться же безотносительно нельзя. Поэтому на поставленный вопрос надо ответить следующим образом: Земля и Солнце движутся одно относительно другого так, что при наблюдении с Земли Солнце кажется обращающимся вокруг Земли, а при наблюдении с Солнца – Земля кажется обращающейся вокруг Солнца.

Послушаем выдающегося физика Эддингтона: «Простота планетных движений была затемнена птолемеевой схемой и стала ясной в схеме Коперника. Но для обыкновенных земных явлений положение обратное: птолемеева схема позволяет выявиться их естественной простоте. Земная, или птолемеева, схема естественно приноровлена к земным явлениям, а солнечная, или коперникова, – к явлениям Солнечной системы; но мы не можем одну из них сделать пригодной для обеих систем, не вводя излишних усложнений».

Вы согласитесь с этим, если вспомните, что ни один астроном, не исключая и самого Коперника, не отказывался от птолемеевского выражения «Солнце восходит» и не заменял его коперниковским «Земля в своём вращательном движении подставляет лучам Солнца то место, в котором я нахожусь». Для определения времени дня воззрение Птолемея удобнее Коперника, и мы без колебания становимся в этом случае на точку зрения древнего грека. Кто вздумал бы описывать солнечный восход в терминах учения Коперника, тот не сразу был бы понят даже самым убеждённым коперниканцем.

Астрономы, предвычисляя те или иные небесные явления, часто вовсе не думают о движении земного шара: им удобнее вести расчёты так, как будто всё небо обращается вокруг неподвижной Земли^[7].

Читатель не забыл, вероятно – а может, и в самом деле успел забыть, – что поводом к так далеко отвлёкшей нас беседе послужила задача об ударяющихся яйцах. Вспомнив об этом, читатель поймёт, что если бы по сломанной скорлупе можно было узнавать, какое из яиц находится в «истинном» движении и какое «в абсолютном» покое, то это было бы открытием мирового значения, настоящим переворотом в механике. Американский журнал, беспечно полагавший, что им установлено различие между соударяющимися яйцами, не подозревал, что он находился в преддверии вечной славы^[8].

Как надо понимать закон инерции

Теперь, после того, как мы подробно побеседовали об относительности движения, необходимо сказать несколько слов о тех причинах, которые вызывают движение, – о силах. Прежде всего нужно указать на закон независимости действия сил, он формулируется так: действие силы на тело не зависит от того, находится тело в покое или движется по инерции либо под влиянием других сил.

Это следствие второго из трёх законов, которые положены Ньютоном в основу всей механики. Первый – закон инерции; третий – закон противодействия.

Второму закону Ньютона будет посвящена вся следующая глава, поэтому здесь мы скажем о нём всего несколько слов. Смысл этого закона состоит в том, что изменение скорости, мерой которой служит ускорение, пропорционально действующей силе и имеет одинаковое с ней направление. Этот закон можно выразить формулой

где ƒ – сила, действующая на тело, m – его масса и а – ускорение тела. Из трёх величин, входящих в эту формулу, труднее всего понять, что такое масса. Нередко смешивают её с весом, но в действительности масса ничего общего с весом не имеет. Массы тел можно сравнивать по тем ускорениям, которые они получают под влиянием одной и той же силы. Как видно из только что написанной формулы, масса при этом должна быть тем больше, чем меньше ускорение, приобретённое телом под влиянием этой силы.

Закон инерции, хотя и противоречит привычным представлениям, наиболее понятен из всех трёх^[9]. Однако же иные понимают его совершенно превратно. Именно его формулируют нередко как свойство тел «сохранять своё состояние, пока внешняя причина не нарушит этого состояния». Такое распространённое толкование подменяет закон инерции законом причинности, утверждающим, что ничто не происходит (т. е. никакое тело не изменяет своего состояния) без причины. Подлинный закон инерции относится не ко всякому физическому состоянию тел, а исключительно к состояниям покоя и движения. Он гласит: всякое тело сохраняет своё состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения до тех пор, пока действие сил не выведет его из такого состояния.

Значит, каждый раз, когда тело

1) приходит в движение,

2) меняет своё прямолинейное движение на непрямолинейное или вообще движется по кривому пути,

3) прекращает, замедляет или ускоряет свое движение, мы должны заключить, что на тело действует сила.

Если же ни одной из этих перемен в движении не наблюдается, то на тело никакая сила не действует, как бы стремительно оно ни двигалось. Надо твёрдо помнить, что тело, движущееся равномерно и прямолинейно, вовсе не находится под действием сил (или же все действующие на него силы уравновешиваются). В этом существенное отличие современных механических представлений от взглядов мыслителей древности и Средних веков (до Галилея). Здесь обыденное мышление и мышление научное резко расходятся.

Сказанное объясняет нам, между прочим, почему трение о неподвижное тело рассматривается в механике как сила, хотя никакого движения оно вызвать не может. Трение есть сила потому, что оно замедляет движение. Такие силы, которые сами не могут породить движения, а способны лишь замедлять уже возникшее движение (или уравновешивать другие силы), называются пассивными, в отличие от сил движущих, или активных.

Подчеркнём ещё раз, что тела не стремятся оставаться в покое, а просто остаются в покое. Разница тут та же, что между упорным домоседом, которого трудно выманить из квартиры, и человеком, случайно находящимся дома, но готовым по малейшему поводу покинуть его. Физические тела по природе своей вовсе не «домоседы»; напротив, они в высшей степени подвижны, так как достаточно приложить к свободному телу хотя бы самую ничтожную силу, и оно приходит в движение. Выражение «тело стремится сохранять покой» ещё и потому неуместно, что выведенное из состояния покоя тело само собой к нему не возвращается, а, напротив, сохраняет навсегда сообщённое ему движение (при отсутствии, конечно, сил, мешающих движению).

Немалая доля тех недоразумений, которые связаны с законом инерции, обусловлена этим неосторожным словом «стремится», вкравшимся в учебники физики и механики.

Не меньше трудностей для правильного понимания представляет третий закон Ньютона, к рассмотрению которого мы сейчас и переходим.