Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

© 2001, by Leonard Mlodinow

© Шаши Мартынова, перевод, 2013

© 2013, Livebook

Все права защищены. Никакая часть электронной версии этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для частного и публичного использования без письменного разрешения владельца авторских прав.

Алексею и Николаю, Саймону и Ирэн

Введение

Двадцать четыре века назад один грек стоял у берега моря и смотрел, как исчезают вдали корабли. Аристотель, судя по всему, проводил за таким тихим занятием немало времени и повидал немало кораблей, раз его однажды посетила интересная мысль. Все корабли исчезали одинаково – сначала корпус, потом мачты и паруса. Он задумался: как такое может быть? На плоской Земле корабли должны были уменьшиться целиком и исчезнуть, превратившись в нераспознаваемую точку. Но корпус исчезал первым, а уж потом все остальное – и это подтолкнуло Аристотеля к подлинному озарению: Земля – искривлена. Аристотель взглянул на общее устройство нашей планеты через окно геометрии.

Ныне мы исследуем космос так же, как тысячелетия назад познавали Землю. Кое-кто слетал на Луну. Непилотируемые летательные аппараты добирались до границ Солнечной системы. Вполне возможно, уже в этом тысячелетии мы долетим до ближайшей звезды – это странствие с достижимой когда-нибудь-скоростью в одну десятую скорости света займет лет пятьдесят. Но даже если мерить расстояниями до альфы Центавра, задворки Вселенной отсюда – в нескольких миллиардах таких «мерных реек». Вряд ли нам доведется узреть, как корабль достигает горизонта Вселенной, подобно увиденному Аристотелем на Земле. И все-таки мы узнали о природе и устройстве Вселенной многое, как некогда и Аристотель, – наблюдая, применяя логику и страшно долго вперяя взоры в космос. Веками горизонты для нас раздвигали гений и геометрия. Что можно вообще доказать о пространстве? Как узнать, где находишься? А может ли пространство искривляться? Сколько в нем измерений? Как геометрия объясняет естественный порядок и единство космоса? Эти вопросы и стоят за пятью геометрическими революциями в мировой истории.

А началось все со скромной схемы, придуманной Пифагором: применить математику как абстрактную систему правил, по которым можно смоделировать физическую вселенную. Следом возникла концепция пространства, отделенного от земли, по которой мы ходим, или воды, в которой плаваем. То было рождение абстракции и доказательства. Вскоре греки, похоже, научились находить геометрические ответы на любой научный вопрос – от принципов действия рычага до орбит небесных тел. Однако греческая цивилизация пришла в упадок, и Запад завоевали римляне. Однажды – аккурат перед Пасхой 415 года – толпа невежд стащила одну женщину с колесницы и убила. Женщина эта была последним ученым, преданным геометрии, Пифагору и рациональной мысли, она последняя трудилась в Александрийской библиотеке, и с этой смертью цивилизация начала соскальзывать в тысячелетие Темных веков.

Однако цивилизация воскресла, а с нею – и геометрия, но уже совсем другая, новая. Ее принес человек весьма цивилизованный – ему нравилось играть в азартные игры, спать до обеда и критиковать греков: их метод геометрического доказательства виделся ему чересчур обременительным. Для облегчения умственного труда Рене Декарт поженил геометрию и числа. Благодаря его идее координат, пространства и формы можно было крутить и вертеть, как никогда прежде, а число получалось визуализировать геометрически. Эти методики породили математический анализ и создали условия для развития современных технологий. Благодаря Декарту геометрические понятия координат и графиков, синусов и косинусов, векторов и тензоров, углов и кривизны присутствуют ныне в любом физическом контексте – от электроники твердого тела до огромных структур в пространстве-времени, от технологии транзисторов и компьютеров до лазеров и космических полетов. Однако работы Декарта взрастили и более абстрактную – и революционную – идею: искривленное пространство. Действительно ли сумма углов в треугольнике равна 180°, или это верно лишь для треугольников на плоскости листа бумаги? И дело тут не только в оригами. Математика искривленного пространства произвела революцию на уровне основ логики не в одной лишь геометрии, но во всей математике. Она создала предпосылки к рождению теории относительности Эйнштейна. Его геометрическая теория пространства и дополнительного измерения – времени, – а также связи между пространством-временем, материей и энергией изменила саму парадигму мышления настолько масштабно, насколько это удалось в свое время лишь Ньютону. Она, безусловно, представлялась вполне радикальной. Но и это, как выяснилось, ничто по сравнению с недавней революцией.

Как-то в июне 1984 года один ученый заявил, что он-де осуществил прорыв в теории, с помощью которой можно объяснить что угодно – от существования субатомных частиц и их взаимодействий до устройства пространства-времени и природы черных дыр. Этот человек считал, что ключ к пониманию единства и порядка во Вселенной – в геометрии, причем геометрии новой и довольно причудливой. Его вывела с трибуны группа людей в белой спецодежде.

Потом выяснилось, что все это было подстроено. Но общая мысль и устремление гения – подлинные. Джон Шварц полтора десятка лет трудился над теорией под названием «струнная», и на нее большинство физиков реагировало так же, как отнеслись бы к уличному психу, просящему денег. Ныне большинство физиков верит, что теория струн верна: геометрия пространства отвечает за физические законы, управляющие всем, что есть в этом пространстве.

Манифест исторической революции в геометрии был написан Евклидом – человеком-загадкой. Если у вас в голове мало что осталось от убийственного предмета под названием «евклидова геометрия» – вероятнее всего, это потому, что вы его весь проспали. Смотреть на геометрию тем манером, какой нам обычно предлагают, – верный способ превращения юных умов в камень. Но евклидова геометрия на самом деле – увлекательный предмет, а труд Евклида – великолепие, чье значение сопоставимо с важностью Библии, а идеи – не менее радикальны, чем марксовы и энгельсовы. Ибо труд Евклида «Начала» открыл окно, в котором нам была явлена природа Вселенной. Его геометрия претерпела четыре революции, ученые и математики подорвали верования теологов, разрушили столь дорогие философам представления о мире и заставили нас пересмотреть и перевообразить наше место в мирозданье. Эти революции, а также их пророки и истории за ними – предмет данной книги.

Часть I. История Евклида

Что вам известно о пространстве?

Как геометрия начала описывать Вселенную и возвестила зарю современной цивилизации.

Глава 1. Первая революция

Евклид, вероятно, лично не открыл ни одного существенного закона геометрии. Тем не менее он – самый знаменитый геометр в истории, и не просто так: тысячелетиями именно в его окне люди впервые видели геометрию. Он и поныне – лицо первой великой революции в представлениях о пространстве: рождения абстракции, понятия о доказательстве.

Постижение пространства началось, что вполне естественно, с представлений о месте – нашем месте, т. е. о Земле. Все началось с развития «измерений земли», как это называли египтяне и вавилоняне. Греческое название того же самого – «геометрия», однако предметы этих занятий совсем не похожи. Греки первыми осознали, что природу можно постичь, применив математику, а геометрия может не только описывать, но и объяснять. Развивая геометрию от простых описаний камня и песка, греки извлекли понятия точки, линии и плоскости. Отбросив вуали материи, они обнаружили структуру такой красоты, какой человечество еще не видело. Евклид стоит как раз на пике борьбы за изобретение математики. История Евклида есть история революции, история аксиомы, теоремы, доказательства – и рождения разума как такового.

Глава 2. Геометрия налогов

Корни достижений греков уходят в древние цивилизации Вавилона и Египта. Йейтс писал^[1] о вавилонском равнодушии – особенности, из-за которой вавилонянам не удалось достичь величия в математике. До греков человечество приметило немало хитрых формул, расчетных и инженерных фокусов, однако – в точности как наши политики – люди временами добивались поразительных успехов с феноменально малым разумением, что же они вообще сделали. А им-то что? Они были строителями, что работают впотьмах на ощупь – что-то возводят, где-то укладывают ступени и достигают своих целей, но не понимания.

И не они первые. Люди считали и вычисляли, драли налоги и облапошивали друг друга с незапамятных времен. Некоторые предположительно счетные орудия датируются 30 000 лет до н. э. – всего лишь палки, расписанные художниками с интуитивным математическим чутьем. Но есть и поразительно отличные приспособления. На берегах озера Эдвард (ныне Демократическая Республика Конго) археологи выкопали небольшую кость 8000-летней давности с крошечным кусочком кварца, вделанным в углубление на одном конце. Автор этого приспособления – художник или математик, мы никогда уже не узнаем, – вырезал на кости три колонки насечек. Ученые считают, что эта кость, названная костью Ишанго^[2], – возможно, самый древний из найденных прибор для численной записи.

Мысль об осуществлении операций с числами^[3] доходила гораздо медленнее, поскольку занятия арифметикой подразумевают некоторую степень абстракции. Антропологи сообщают: если два охотника выпустили две стрелы, завалили двух газелей и заработали две грыжи, волоча добычу к стоянке, во многих племенах все эти «два» и «две» могли быть разными понятиями в каждом случае^[4]. В таких цивилизациях нельзя было складывать яблоки с апельсинами. Похоже, на понимание того, что все это частные случаи одного и того же понятия – абстрактного числа 2, – потребовались тысячи лет.

Первые серьезные шаги в этом постижении люди предприняли в шестом тысячелетии до н. э., когда жители долины Нила постепенно отказались от кочевой жизни и принялись культивировать земли в долине^[5]. Пустыни Северной Африки – едва ли не самые сухие и бесплодные в мире. И лишь река Нил^[6], набухая от экваториальных дождей и тающих снегов Абиссинского нагорья, могла принести, подобно богу, жизнь и пропитание в пустыню. В древние времена каждый год в середине июня сухая, безрадостная и пыльная долина Нила чуяла, как могучие воды устремляются в русло реки, занося плодородным илом округу. Задолго до греческого классика Геродота, описавшего Египет как «дар Нила», Рамзес III оставил запись, указывающую на то, как египтяне почитали этого бога, Нил: они называли его Хапи и подносили ему мед, вино, золото и бирюзу – все самое ценное. Само название страны – Египет – означает на коптском «черная земля»^[7].

* * *

Ежегодное затопление долины продолжалось четыре месяца. К октябрю река начинала мелеть и чахнуть, пока земля к следующему лету не высыхала до корки. Восемь засушливых месяцев делились на два сезона: возделывания почв, перит, и сбора урожая, шему. У египтян возникли оседлые общины, располагавшиеся на холмах, которые в периоды затопления превращались в островки, соединенные дамбами. Египтяне создали систему орошения и хранения зерна. Сельское хозяйство стало основой египетского календаря и самой жизни, а его главными продуктами – хлеб и пиво. К 3500 году до н. э. египтяне развили кое-какое производство – ремесла и металлургию. Примерно тогда же они разработали и письменность^[8].

Смерть для египтян всегда была неизбежностью, но с достатком и оседлостью неизбежными стали и налоги. Вероятно, именно они первыми потребовали развития геометрии^[9]: хоть фараон и владел, в принципе, всеми землями и богатствами, на самом деле частная собственность была и у храмов, и у отдельных частных лиц. Власти оценивали размеры налогов по высоте подъема воды в текущем году и размерам частных владений. Тех, кто отказывался платить, тогдашняя полиция могла уговорить силой, не сходя с места. Займы существовали, но интерес закладывали по принципу «чем проще, тем лучше»: 100 % годовых^[10]. Поскольку средства на кону стояли нешуточные, египтяне выработали более-менее надежные, хоть и мучительные методики расчетов площадей квадрата, прямоугольника и трапеции. Для вычисления площади круга его аппроксимировали квадратом со сторонами, равными восьми девятым диаметра. Это примерно то же самое, что ²⁵⁶/₈₁ – или 3,16 – для значения числа л, т. е. завышенная его оценка – правда, всего на 0,6 %. История не сохранила свидетельств, бурчали налогоплательщики по поводу такой несправедливости или нет.

Египтяне применяли свои математические знания с поразительным размахом. Вообразите открытую всем ветрам унылую пустыню в 2580 году до н. э. Архитектор разложил свои папирусы с планом заказанной вами постройки. У него-то работа непыльная: квадратное основание, треугольные грани, ну и да – 480 футов в высоту, из каменных глыб по две с лишним тонны каждая. Вам поручили проследить за строительством. Простите-извините, но никаких лазерных дальномеров и прочих затейливых маркшейдерских приборов нету – кое-какие палки да веревки.

Многие домовладельцы знают: разметка земли под фундамент здания или даже периметра под простенькую террасу при помощи лишь плотницкого угольника и рулетки – задачка непростая. При постройке же такой пирамиды малейшее отклонение от правильных углов – и тысячи тонн камней тысячи человеко-лет спустя в сотнях футов над землей примут форму не строгих треугольных граней пирамиды, сходящихся в одной точке, а шаткой четырехглавой кучи. А фараоны, коим поклонялись как богам, с армиями, резавшими фаллосы убитым врагам^[11] просто для точности подсчетов, – совсем не те всесильные божества, которым стоит предъявлять кособокие пирамиды. Прикладная египетская геометрия развилась в полноценный предмет.

Чтобы строительство шло по плану, египтяне подключали специалиста, называвшегося гарпедонаптом, буквально – «натягивателем веревок». Во зиться с веревкой гарпедонапт привлекал трех рабов. На ней с определенными интервалами были завязаны узлы, и если ее туго натянуть, получался треугольник с узлами-вершинами и сторонами известной длины – и, соответственно, углами нужного раствора. Например, если натянуть веревку с узлами на 30-м, 40-м и 50-м ярдах, между сторонами в 30 и 40 ярдов получится прямой угол. (Слово «гипотенуза» по-гречески исходно означала «растянутая напротив».) Метод, как выяснилось, блестящий – и куда сложнее, чем может показаться. В наше время сказали бы, что натягиватели веревок строили не линии, а геодезические кривые вдоль поверхности Земли. Нам предстоит убедиться, что именно этим методом – хоть и не в таком умозрительном виде и не в таких малых (бесконечно малых, говоря строго) масштабах – мы и поныне пользуемся для оценки локальных свойств пространства в той области математики, что зовется «дифференциальная геометрия». Именно теоремой Пифагора мы поверяем плоскость пространства.

Покуда египтяне обживали долину Нила, в районе Персидского залива и Палестины развивалась еще одна конурбация^[12]. Все началось в Месопотамии – области между реками Тигр и Евфрат – в четвертом тысячелетии до н. э. Где-то в промежутке от 2000 до 1700 года до н. э. несемитские племена, обитавшие к северу от Персидского залива, завоевали своих южных соседей. Их победоносный владыка Хаммурапи назвал объединенное царство по имени своего города – Вавилона. Вавилонян мы и считаем^[13] создателями математической системы, что гораздо сложнее египетской.

Инопланетяне, глядящие на Землю в какой-нибудь сверхтелескоп с расстояния в 23 400 000 000 000 000 миль, и сегодня могут наблюдать жизнь и привычки вавилонян и египтян. Для нас же, застрявших на этой планете, собрать полную картину той жизни будет потруднее. О египетской математике мы знаем в основном из двух источников – из «Папируса Ринда», названного в честь Александра Г. Ринда^[14], передавшего этот документ в Британский музей, и из «Московского папируса», находящегося в Музее изобразительных искусств в Москве. Наши знания о вавилонянах происходят из раскопок руин в Ниневии, где обнаружили около 1500 табличек. К сожалению, ни на одной не нашлось математических текстов. Зато несколько сотен глиняных табличек удалось накопать в Ассирии – в основном на руинах Ниппура и Киша^[15]. Если сравнивать археологические раскопки с поисками в книжном магазине, на сей раз отдел математики в нем обнаружился. Археологи нашли справочные таблицы, учебники и другие объекты, поведавшие многое о вавилонской математической мысли.

Стало известно, к примеру, что функции вавилонского эквивалента инженера не сводились к мобилизации рабочей силы для стройки. Чтобы вырыть, допустим, канал, этот специалист размечал его трапециевидное сечение, рассчитывал объем земли, который необходимо вынуть, прикидывал, сколько один человек прокопает за день, и выдавал количество человекодней, необходимое для осуществления замысла. Вавилонские ростовщики умели даже вычислять сложный процент доходности^[16].

Вавилоняне уравнений писать не умели. Все их расчеты выражались словесными задачами. Например, одна из табличек содержала восхитительный текст: «Четыре есть длина и пять есть диагональ. Какова ширина? Размер ее неведом. Четыре раза по четыре есть шестнадцать. Пять раз по пять есть двадцать пять. Вынимаем шестнадцать из двадцати пяти, остается девять. Сколько раз мне взять, чтобы получилось девять? Три раза по три есть девять. Три есть ширина»^[17]. Ныне мы бы записали так: «х² = 5² – 4²». Недостаток словесной постановки задач – не столько в очевидной громоздкости, сколько в том, что с прозой не получается обращаться так же, как с уравнением, да и правила алгебры применять не так-то просто. На преодоление этого недостатка ушли тысячи лет: старейшее известное использование символа «плюс» появляется в одном немецком манускрипте 1481 года^[18].

Приведенная выдержка показывает, что вавилонянам была известна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Уловка с веревками говорит нам о том, что и египтяне, похоже, знали это соотношение, однако вавилонские писцы испещрили свои глиняные документы впечатляющими таблицами троек, иллюстрирующих эту зависимость. Они записали не только малые тройки – 3, 4, 5 или 5, 12, 13, но и большие – к примеру, 3456, 3367, 4825. Вероятность обнаружить такую тройку путем случайного перебора разных сочетаний чисел по три невелика. Первая дюжина чисел – 1, 2…, 12 – дает сотни разных комбинаций по три, однако лишь 3, 4, 5 удовлетворяет условиям теоремы. Если только вавилоняне не подрядили армию счетоводов, проведших всю жизнь за вычислениями, можно заключить, что о простой теории чисел им было известно достаточно, чтобы выписать эти тройки.

Несмотря на достижения египтян и сообразительность вавилонян, их вклад в математику свелся к обеспечению греков собранием проверенных математических фактов и общих правил. Они действовали подобно полевым исследователям, трудолюбиво описывающим разные биологические виды, а не современным генетикам, стремящимся понять, как же организмы развиваются и функционируют. Например, хоть обе цивилизации и знали теорему Пифагора, ни та, ни другая не вдумалась в общую закономерность, которую мы сегодня записываем как a² + b² = c² (где с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, а и b – длины двух других сторон). Они, похоже, никогда не задавались вопросом, почему такое соотношение вообще существует или как его применить, чтобы получить большее знание. Точное ли это соотношение или приблизительное? В принципе, этот вопрос – ключевой. Но с практической точки зрения – кому какое дело? Пока не появились древние греки, никому никакого дела и не было.

Вообразите задачу, ставшую главной головной болью в геометрии Древней Греции, но никак не волновавшую ни египтян, ни вавилонян, – она замечательно проста. Возьмем квадрат с длиной стороны в одну единицу – какова будет длина его диагонали? Вавилоняне рассчитали это значение как 1,4142129 (в десятичной записи). Этот ответ верен до третьего шестидесятеричного знака после запятой (вавилоняне применяли шестидесятеричную систему счисления). Греки-пифагорейцы додумались, что это число нельзя записать как целое или дробь – для нас, ныне живущих, это означает, что число записывается в виде бесконечной вереницы десятичных знаков без всякой закономерности: 1,414213562… Для греков это оказалось ударом, кризисом религиозных масштабов, из-за которого убили как минимум одного ученого – за то, что поднял визг о значении квадратного корня из двух. Но с чего бы? Ответ – в сути величия греков.