Ievads
Iedomājieties, ka varat reizināt lielus skaitļus savā galvā ātrāk, nekā tos ierakstītu kalkulatorā. Iedomājieties, ka varat ātri pārbaudīt – atkal savā galvā – iegūto rezultātu. Kā jūsu kolēģi reaģētu, ja jūs savā galvā atrastu kvadrātveida un pat kubsaknes? Vai tas jums neradītu ļoti gudra cilvēka reputāciju? Vai jūsu draugi un kolēģi nesāks pret jums izturēties savādāk, ar lielāku cieņu? Kā ar skolotājiem, pasniedzējiem, klientiem, jūsu menedžeri?
Cilvēki matemātikas spējas pielīdzina intelektam. Ja reizināšanas, dalīšanas, kvadrātsaknes un kvadrātsaknes darbības savā galvā spēsi veikt ātrāk, nekā draugi spēs izvilkt no kabatas kalkulatoru, tiksi uzskatīts par cilvēku ar visaugstāko inteliģenci.
Es vienam bērnam iemācīju dažas pieejas, ko jūs apgūsit šajā grāmatā, pirms viņš mācījās pirmajā klasē, un tāpēc skolas gados daudzi viņu uzskatīja par brīnumbērnu.
Ģimenē, skolā un darba vietā pret cilvēkiem, kuri ir apguvuši šo tehniku, sāk izturēties atšķirīgi. Un, tā kā pret viņiem izturas kā pret cilvēkiem ar lielu inteliģenci, viņi paši sāk rīkoties gudrāk.
Kāpēc mācīt pamata aritmētiku un skaitļu teoriju?
Kādu dienu mani uzaicināja uz radio šovu. Pēc sarunas ar mani vadītājs vaicāja studijā klātesošajam vienas no Austrālijas vadošajām universitātēm matemātikas nodaļas pārstāvim, ko viņš domā par mani un manām metodēm. Viņš sacīja, ka mācīt studentiem aprēķinu noteikumus ir lieka laika tērēšana. Kāpēc kādam būtu jāspēj savā galvā skaitīt kvadrātā, reizināt, ņemt kvadrātsaknes un dalīt skaitļus, ja pastāv kalkulatori? Pēc tam uz studiju zvanīja daudzi vecāki un teica, ka šī skolotāja attieksme izskaidro, kāpēc viņu bērniem skolā gājis tik grūti ar matemātiku.
Man bija arī iespēja pārrunāt ar skolotājiem skaitļu pamatoperāciju nozīmi. Daudzi apgalvo, ka bērniem nav jāzina, ka 5 plus 2 ir 7 vai ka 2 reiz 3 ir 6.
Kad skolēni klasē izsaka šādus viedokļus, es lūdzu viņus izņemt no portfeļiem kalkulatorus. Tad es lieku viņiem nospiest atbilstošās pogas, kamēr es diktēju uzdevumu: «Divi plus trīs reiz četri vienāds…»
Dažiem studentiem kalkulators kā atbildi sniedz 20. Citiem atbilde ir 14.
Kura no šīm divām atbildēm ir pareiza? Kā kalkulators var sniegt divas dažādas atbildes, ja nospiežat vienas un tās pašas pogas?
Tas ir tāpēc, ka pastāv noteikta secība, kādā jāveic aritmētiskās darbības. Vispirms jāreizina vai jādala, un tikai tad jāsaskaita un jāatņem. Daži kalkulatori ņem vērā šo funkciju, citi ne.
Kalkulators nevar domāt tavā vietā. Jums jāapzinās, kādā secībā veicat aprēķinus. Ja jūs nezināt matemātiku, kalkulators jums neko daudz nepalīdzēs.
Tālāk ir minēti daži iemesli, kas liek man teikt, ka matemātika ir ne tikai nepieciešama, bet arī ļoti svarīga jebkurai personai neatkarīgi no tā, vai viņš mācās vai nē.
• Cilvēki matemātiskās spējas uzskata par augsta intelekta pazīmi. Ja tev padodas matemātika, cilvēki mēdz uzskatīt, ka esi gudrs. Pret skolēniem, kuriem matemātika padodas, parasti ar pastiprinātu cieņu izturas gan skolotāji, gan kursabiedri. Skolotāji viņus nereti pieskaita pie potenciāli spējīgākiem skolēniem, un viņiem pašiem nereti padodas labāk – ne tikai matemātikā, bet arī citos mācību priekšmetos.
• Mācīšanās strādāt ar skaitļiem, jo īpaši ar prāta aprēķiniem, palīdz labāk izprast matemātikas likumus.
• Garīgie aprēķini palielina koncentrēšanās spēju, stiprina atmiņu un attīsta spēju vienlaikus turēt galvā vairākas idejas. Cilvēks, kurš pārvalda šādu aprēķinu metodes, iemācās strādāt vienlaicīgi ar vairākiem garīgiem konstruktiem.
• Mentālie aprēķini iemācīs «sajust» skaitļus un ātri novērtēt rezultāta pareizību.
• Personai, kas saprot matemātiku, ir labākas spējas domāt sāniski. Šajā grāmatā piedāvātās pieejas palīdzēs attīstīt spēju domāt alternatīvos virzienos; Rezultātā jūs iemācīsities meklēt nestandarta pieejas problēmu risināšanai un aprēķinu veikšanai.
• Matemātikas zināšanas sniegs pārliecību par savām spējām, kas paaugstinās pašvērtējumu. Šeit ieteiktās metodes palielinās jūsu pārliecību par savām garīgajām spējām, intelektu un matemātikas problēmu risināšanas prasmēm.
• Pārbaudes metodes ļauj personai, kas veic aprēķinu, nekavējoties atpazīt kļūdu. Ja pieļaujat kļūdu, pārbaude ļaus jums to uzreiz identificēt un labot. Ja lēmums ir pareizs, pārbaude to apstiprinās un sniegs jums papildu gandarījumu, apzinoties savu darbību pareizību. Spēja atpazīt kļūdas, veicot aprēķinus, sniedz papildu motivāciju aprēķinu veicējam.
• Matemātikai ikdienā ir liela nozīme. Neatkarīgi no tā, vai skatāties sporta programmu vai pērkat pārtikas preces veikalā, prāta aprēķini vienmēr ir noderīgi. Mums visiem laiku pa laikam ir jāveic ātri prāta aprēķini.
Matemātiskā domāšana
Vai tā ir taisnība, ka ne visi cilvēki ir dzimuši ar matemātisko prātu, ka dažiem ir sākotnējās priekšrocības salīdzinājumā ar citiem labākas matemātikas apguves ziņā? Un otrādi, vai tā ir taisnība, ka daži cilvēki ir mazāk apdāvināti matemātisko problēmu risināšanā?
Atšķirība starp tiem cilvēkiem, kuri daudz sasniedz matemātikā, un tiem, kuri sasniedz maz, ir nevis smadzenes, ar kurām viņi piedzimst, bet gan tas, kā viņi tās izmanto. Tie, kas sasniedz vairāk, izmanto efektīvākas pieejas nekā citi.
Šī grāmata iemācīs efektīvākas pieejas. Šeit aplūkotie paņēmieni ir daudz vienkāršāki nekā iepriekš mācītie, tāpēc aprēķinu problēmas atrisināsiet daudz ātrāk un ar mazākām kļūdām.
Iedomājieties divus skolēnus un skolotāju, kurš viņiem tikko radījis problēmu. Students A saka: «Tas ir grūts uzdevums. Skolotāja mums nemācīja, kā risināt šāda veida problēmas. Kā es varu to atrisināt? Izrādās, ka skolotājs mums izvirza nepamatoti sarežģītus uzdevumus.
Students B saka: «Tas ir grūts uzdevums. Skolotāja mums nemācīja, kā risināt šāda veida problēmas. Kā es varu to atrisināt? Skolotājs zina, kāds ir mūsu zināšanu līmenis un kādas problēmas varam atrisināt, tāpēc ar to, ko viņš mums līdz šim ir mācījis, vajadzētu pietikt, lai mēs paši tiktu galā ar risinājumu. Kur man sākt?
Kurš skolēns, jūsuprāt, visticamāk atrisinās problēmu? Ir skaidrs, ka students B.
Kas notiks nākamreiz, kad viņiem tiks dots līdzīgs uzdevums? Students A teiks: «Es nevaru to atrisināt. Tas ir tāds pats uzdevums kā pagājušajā reizē. Viņa ir pārāk grūta. Es slikti risinu šādas problēmas. Kāpēc jūs mums nepajautājat kaut ko vieglāku?
Un students B teiks: «Tas man atgādina iepriekšējo problēmu. Es domāju, ka varu to atrisināt. Es jau vairāk vai mazāk esmu iemācījies risināt šādas problēmas. Tie nav ļoti vienkārši, bet tos var atrisināt. Tātad, kā es tam pietuvojos?»
Abiem studentiem izveidojās uzvedības modelis: viens bija sakāvējs, otrs bija orientēts uz uzvaru. Vai tam ir kāds sakars ar viņu intelektuālo potenciālu? Iespējams, bet nav nepieciešams. Viņi var būt vienādi intelekta ziņā. Tas vairāk ir par skolēnu attieksmi pret uzdevumu, ko var noteikt gan iepriekš mācītais, gan arī iespaidots no pieredzes – pozitīvas un negatīvas. Nepietiek vienkārši aicināt cilvēkus mainīt savu attieksmi. Tas viņus tikai aizkaitinās. Es gribētu viņiem pateikt, ka viņi var darīt labāk, un tad parādīt viņiem, kā to izdarīt. Ļaujiet pozitīvai pieredzei mainīt viņu attieksmi, nevis brīdinājumus. Pozitīvās pieredzes dēļ cilvēku sejas izgaismojas un viņi izsaucas: «Urā! ES varu!»
Mans pirmais matemātikas noteikums izskatās šādi:
Jo vienkāršāku metodi izmantosit problēmas risināšanai, jo ātrāk to atrisināsit un mazāka iespēja kļūdīties.
Jo sarežģītāku metodi izmantojat, jo ilgāks laiks būs nepieciešams problēmas atrisināšanai un lielāka iespēja kļūdīties. Cilvēki, kuri izmanto labākas metodes, saņem atbildi ātrāk un pieļauj mazāk kļūdu, savukārt tie, kas izmanto mazāk efektīvas metodes, atbildi saņem lēnāk un pieļauj vairāk kļūdu. Saikne ar intelektu šeit nav tik liela, tas nemaz neprasa īpašu matemātisku domāšanu.
Mazliet par pašu grāmatu
Šī grāmata ir uzrakstīta vienkāršā un saprotamā valodā. Kad esat to izlasījis, jūs sapratīsit matemātiku kā nekad agrāk un būsiet pārsteigts, cik vienkārši tā var būt. Datortehnika sāks jums sagādāt prieku tādos veidos, kā jūs nekad neesat iedomājies.
Katra nodaļa piedāvā virkni risināmu piemēru. Mēģiniet tos atrisināt pats pēc manis apskatītajiem apmācības piemēriem, nevis vienkārši pasīvi lasīt. Jūs atklāsiet, ka manis sniegtie piemēri nemaz nav sarežģīti. Izstrādājot katra piemēra risinājumu ar maniem norādījumiem, jūs patiesi apgūsit risinājuma pamatā esošās metodes un principus un būsit motivēts turpināt lasīt. Tikai izstrādājot šo piemēru risinājumus, jūs sapratīsit, cik vienkāršas ir šeit piedāvātās metodes.
Ļoti iesaku veltīt laiku piemēru risināšanai pašam gan uz papīra, gan galvā. Pēc šīs grāmatas izstudēšanas jūs būsiet pārsteigts, cik progresīvas ir kļuvušas jūsu matemātikas prasmes.
1. nodaļa Reizināšana: Pirmā daļa
Cik labi jūs zināt reizināšanas tabulas?
Vai vēlaties apgūt reizināšanas tabulas skaitļiem no 1 līdz 10 mazāk nekā 10 minūtēs? Kā ir ar tabulu skaitļiem no 10 līdz 20 mazāk nekā pusstundas laikā? Tas viss ir iespējams, izmantojot metodes, par kurām es runāju šajā grāmatā. Es tikai pieņemu, ka jūs pietiekami labi zināt skaitļa 2 reizināšanas tabulas un ka jūs zināt arī saskaitīšanas un atņemšanas darbības maziem skaitļiem.
Skaitļu reizināšana līdz 10
Sāksim ar to, ka iemācīsimies reizināt visu veidu skaitļus no 1 līdz 10 līdz 10 x 10. Metode ir šāda.
Kā piemēru ņemsim produktu 7 x 8.
Uzrakstiet uz papīra lapas 7 x 8 = un uzzīmējiet apli zem katra no diviem skaitļiem, kas tiek reizināti.
Apskatīsim pirmo no faktoriem, skaitli 7. Cik daudz tā trūkst no skaitļa 10? Atbilde: 3. Aplī zem skaitļa 7 ierakstīsim 3. Tagad pievērsīsimies skaitļam 8. Kas jāraksta aplī zem skaitļa 8? Cik pietrūkst no 10? Ir skaidrs, ka tas ir 2. Mēs ievadām 2 aplī zem faktora 8.
Lūk, ko mēs saņēmām:
Tagad veiksim atņemšanu šķērsām. Tas nozīmē, ka jums ir jāatņem jebkurš no aplī esošajiem skaitļiem (3 vai 2) no skaitļa, kas atrodas nevis tieši virs tā, bet no tā, kas atrodas pa diagonāli, tas ir, virs otra skaitļa aplī. Citiem vārdiem sakot, jūs atņemat 3 no 8 vai 2 no 7. Tas ir jādara tikai vienu reizi, tāpēc izvēlieties opciju, kas jums šķiet vieglāka. Jebkurā gadījumā rezultāts ir vienāds: 5. Šis ir jūsu atbildes pirmais cipars.
8–3 = 5 vai 7–2 = 5
Tagad reizināsim skaitļus apļos. 3 reizes 2 dod 6. Šis būs jūsu atbildes pēdējais cipars. Tādējādi atbilde būs 56. Atrisinātā problēma izskatās šādi:
Ja jūs varat viegli reizināt 2 ar citiem skaitļiem līdz 10, tad varat viegli atcerēties reizināšanas tabulas no 1 līdz 10 un vairāk. Apstiprināsim apgūto ar citu piemēru: 8 x 9.
Cik katrā gadījumā trūkst līdz 10? Atbilde: 2 un 1. Mēs ievadām 2 un 1 apļos zem skaitļiem, kas tiek reizināti. Ko tagad darīsim? Mēs atņemam šķērsām.
8 – 1 = 7 vai 9 – 2 = 7
7 ir atbildes pirmais cipars. Pierakstīsim to. Tagad sareizināsim abus skaitļus apļos:
2 x 1 = 2
2 ir mūsu atbildes pēdējais cipars. Tātad atbilde ir 72.
Viegli, vai ne? Tagad mēģiniet pats atrisināt dažus piemērus. Tā vietā, lai rakstītu atbildes šeit, grāmatā, varat to izdarīt uz atsevišķas papīra lapas vai piezīmju grāmatiņā – vēlāk varat atgriezties pie piemēriem grāmatā un iepriekš nezināt atbildes.
a) 9 x 9 = __; b) 8 x 8 = __; c) 7 x 7 = __; d) 7 x 9 = __; e) 8 x 9 = __; e) 9 x 6 = __; g) 5 x 9 = __; h) 8 x 7 = __
Atrisiniet katru no piemēriem, pat ja jūs jau atceraties reizināšanas tabulas. Šī ir pamatmetode, ko izmantosit turpmāk, reizinot skaitļus.
Kā notika lēmuma pieņemšana? Šeit ir atbildes uz piemēriem:
a) 81; b) 64; c) 49; d) 63; e) 72; e) 54; g) 45; h) 56
Vai tas nav vienkāršākais veids, kā apgūt reizināšanas tabulas?
Vai ir vērts mācīties reizināšanas tabulu?
Tagad, kad esat apguvis skaitļu reizināšanas metodi, vai tas nozīmē, ka jums nav jāapgūst reizināšanas tabulas?
Patiesību sakot, jā un nē.
Tas nav nepieciešams, jo tagad jūs varat pēc nelielas apmācības gandrīz acumirklī aprēķināt jebkura skaitļu pāra reizinājumu. Ja esat jau apguvis reizināšanas tabulu, tad šīs metodes apgūšana dos papildu priekšrocības.
Ja jūs vēl nezināt reizināšanas tabulas, tad jums ir iespēja to apgūt rekordīsā laikā. Kad esat aprēķinājis reizinājumu 7 x 8 = 56 desmit vai vairāk reižu, jūs atklāsiet, ka atbildi esat iegaumējis uz visiem laikiem. Citiem vārdiem sakot, jūs esat iemācījušies daļu no reizināšanas tabulas. Es atkārtoju, ka tas ir vienkāršākais veids, kā es zinu, kā apgūt reizināšanas tabulu, un arī pats izklaidējošākais. Un jums nav jāuztraucas par tabulu neiegaumēšanu no galvas – jūs vienmēr varat aprēķināt nepieciešamo produktu tik ātri, it kā jūs zinātu atbildi no galvas.
Skaitļu, kas ir lielāki par 10, reizināšana
Vai šī metode darbojas, reizinot skaitļus, kas lielāki par 10?
Protams, ka strādā. Izmēģināsim to ar piemēru:
96 x 97 =
Uz kādu lielāku skaitli šie skaitļi jāsamazina? Cik pietrūkst kam? Līdz 100. Ievadiet 4 aplī zem 96 un 3 zem 97.
Ko tagad darīsim? Mēs atņemam šķērsām: 96 mīnus 3, tas pats, kas 97 mīnus 4, ir vienāds ar 93. Šī ir atbildes pirmā (priekšējā) daļa. Ko darīsim tālāk? Reiziniet skaitļus apļos. 4 reizes 3 reizinājums ir vienāds ar 12. Šī ir atbildes pēdējā (aizmugurējā) daļa. Pati atbilde attiecīgi ir 9312.
Kura metode ir vieglāka: šī vai tā, kuru jums mācīja skolā? Protams, šis.
Atcerieties manu pirmo matemātikas likumu:
Jo vienkāršāku metodi izmantosit problēmas risināšanai, jo ātrāk to atrisināsit un mazāka iespēja kļūdīties.
Tagad es piedāvāju vairākus piemērus jūsu risinājumam:
a) 96 x 96 = ___; b) 97 x 95 = ___; c) 95 x 95 = ___; d) 98 x 95 = ___; e) 98 x 94 = ___; e) 97 x 94 = ___; g) 98 x 92 = ___; h) 97 x 93 = ___
Atbildes paškontrolei:
a) 9216; b) 9215; c) 9025; d) 9310; e) 9212; f) 9118; g) 9016; h) 9021
Vai jūs visu sapratāt pareizi? Ja pieļaujat kļūdu, atgriezieties, atrodiet, kur kļūdījāties, un labojiet atbildi. Tā kā šī metode ļoti atšķiras no tradicionālajām pieejām skaitļu pāru reizināšanai, nav pārsteidzoši, ka sākumā pieļausit kļūdas.
Sacensība ar kalkulatora ātrumu
Es piedalos televīzijas šovos, kur man bieži tiek lūgts braukt ar kalkulatoru. Parasti tas notiek šādi. Kamera aizveras uz rokas, kurā fonā atrodas kalkulators. Kāds, kurš nav redzams kadrā, rada problēmu: piemēram, reiziniet 96 ar 97. Tiklīdz tiek pateikts 96, es to uzreiz atņemu no 100 un saņemu 4. Kad tiek pateikts otrais skaitlis – 97 – es atņemu 4 no to un saņem 93. Es nesaku 93, bet saku «deviņi tūkstoši trīs simti…» ar savu smuku austrāliešu akcentu un tajā pašā laikā galvā izrēķinu: «4 reiz 3 ir 12.»
Tā gandrīz bez pauzes beidzu: «Deviņi tūkstoši trīs simti. divpadsmit». Lai gan es neuzskatu sevi par «cilvēku kalkulatoru» – jo daudzi mani skolēni ir ātrāki par mani – , man joprojām nav problēmu iegūt atbildi, pirms kāds cits to paspēj dabūt kalkulatorā.
Tagad vēlreiz atrisiniet pēdējo piemēru sēriju, bet tagad veiciet visus aprēķinus savā galvā. Drīz jūs redzēsit, ka tas ir vieglāk, nekā šķiet. Es vienmēr saviem studentiem saku: jums ir trīs vai četras reizes jāatrisina piemērs galvā, pirms tas kļūst patiešām viegli; pēc tam katru nākamo reizi veiktais aprēķins būs sīkums, salīdzinot ar pirmajā reizē veikto aprēķinu. Tāpēc izmēģiniet to piecas reizes, pirms padodaties un sakāt, ka tas jums ir pārāk grūti.
Vai jūs nepārsteidz tas, ko varat darīt tagad? Jūsu smadzenes nekļūst labākas vienas nakts laikā: jūs vienkārši izmantojat tās efektīvāk, pateicoties vienkāršiem, bet sarežģītākiem matemātikas aprēķiniem.
2. nodaļa Atsauces numurs
Mēs vēl neesam pilnībā izdomājuši skaitļu reizināšanas metodi. Līdz šim apskatītajām problēmām metode darbojās nevainojami. Tagad, pēc dažām izmaiņām, mēs varam to piemērot jebkuriem skaitļiem.
Numurs 10 kā atsauce
Atgriezīsimies pie 7 x 8 piemēra.
Cipars 10 pa kreisi no piemēra ir atsauces numurs. Šis ir skaitlis, no kura mēs atņemam faktorus.
Tātad, rakstīsim atsauces numuru pa kreisi no piemēra. Tagad pajautāsim sev, vai skaitļi, kurus mēs reizinām, ir lielāki (lielāki) vai mazāki (mazāki) par atsauces skaitli? Šajā gadījumā reizinātājs abas reizes ir mazāks (mazāks) par atsauces skaitli. Tāpēc mēs zīmējam apļus zem faktoriem. Cik daudz faktoru ir mazāki par atsauces skaitli? Attiecīgi par 3 un 2. Apļos ierakstiet 3 un 2. 7 ir vienāds ar 10 mīnus 3, tāpēc apļa priekšā ar skaitli 3 ievietojam mīnusa zīmi. 8 ir 10 mīnus 2, kas nozīmē, ka apļa ar skaitli 2 priekšā ievietojam mīnusa zīmi.
Tagad atņemsim šķērsām. 7 mīnus 2 un 8 mīnus 3 dod 5. Mēs rakstām 5 aiz vienādības zīmes. Tagad sareizināsim 5 ar atsauces skaitli 10. 5, reizinot ar 10, iegūst 50, tāpēc aiz 5 rakstām 0. (Jebkuru skaitli reizinot ar 10, pietiek ar skaitli labajā pusē pievienot nulli.) 50 ir mūsu starprezultāts.
Tagad reizināsim skaitļus apļos. 3 reizes 2 dod 6. Pievienojiet rezultātu 50 un iegūstiet galīgo atbildi: 56.
Pilnībā atrisināts piemērs izskatās šādi:
Numurs 100 kā atsauce
Kāds bija atsauces numurs 96 x 97 piemēram 1. nodaļā? 100, jo mēs arī aprēķinājām, cik daudz 96 un 97 pietrūka, lai iegūtu 100. Pilnībā atrisinātais piemērs tagad izskatītos šādi:
Manis iepriekš sniegtais garīgās skaitīšanas triks vienkārši liek jums izmantot šo metodi. Sareizināsim 98 ar 98, un jūs redzēsiet, ko es domāju.
Mēs atņemam 98 un 98 no 100 un iegūstam 2 un 2. Atņemam 2 no 98 un iegūstam 96. Bet mēs nesakām «deviņdesmit seši», bet «deviņi tūkstoši seši simti». 9600 iegūst, reizinot 96 ar palīgskaitli 100. Tagad skaitļus reizinām apļos. 2 reizes 2 ir vienāds ar 4, tāpēc galīgā atbilde ir 9604.
Atrisiniet šādus piemērus savā galvā:
a) 96 x 96 = ___; b) 97 x 97 = ___; c) 99 x 99 = ___; d) 95 x 95 = ___; e) 97 x 98 = ___
Jums vajadzētu saņemt šādas atbildes:
a) 9216; b) 9409; c) 9801; d) 9025; e) 9506
Iespējams, jau tagad varēsit ātri atrast atbildes uz šādiem piemēriem. Noteikti esat pilnībā apguvis šo metodi attiecībā uz skaitļiem, kas mazāki par 10, apskaužamā ātrumā risinot atbilstošos piemērus. Piemēram, ja vēlaties aprēķināt, cik daudz ir 9 x 9, jūs uzreiz «redzēsit» vienu zem katriem deviņiem. 9 mīnus 1 dod 8 – un jūs uzreiz saņemat 80 (reizinājums no 8 ar 10). 1 pret 1 dod 1. Tātad jūsu atbilde ir 81.
Skaitļu reizināšana no 10 līdz 20
Apskatīsim, kā darbojas metode skaitļu reizināšanai no 10 līdz 20. Ņemsim 13 x 14 kā piemēru, izmantojot 10 kā atsauces skaitli.
Gan 13, gan 14 ir lielāki (virs) atsauces skaitļa 10, tāpēc mēs zīmējam apļus virs faktoriem. Cik tie ir vairāk nekā atsauces numurs? Attiecīgi 3 un 4. Tāpēc mēs rakstām 3 un 4 apļos virs 13 un 14. 13 ir vienāds ar 10 plus 3, tāpēc skaitļa 3 priekšā ievietojam plus zīmi; 14 ir vienāds ar 10 plus 4, tāpēc skaitļa 4 priekšā ievietojam plus zīmi.
Tāpat kā iepriekš, salieciet to šķērsām. Gan 13 plus 4, gan 14 plus 3 ir vienādi ar 17. Aiz vienādības zīmes rakstām 17. Mēs reizinām 17 ar atsauces skaitli 10 un iegūstam 170 – tas ir mūsu starprezultāts, mēs to rakstām pēc vienādības zīmes.
Kā pēdējo soli mēs reizinām skaitļus apļos. 3 reizes 4 ir vienāds ar 12. Pievienojiet 12 līdz 170 un iegūstiet atbildi: 182. Šādi izskatās pilnībā atrisināts piemērs:
Ja skaitlis, kuru mēs reizinām, ir lielāks (lielāks) par atsauces skaitli, mēs novietojam apli virs skaitļa. Ja skaitlis ir mazāks (zem) no atsauces, zem skaitļa novelkam apli.
Ja skaitļi apļos ir lielāki par koeficientiem, mēs saskaitām šķērsām, ja tie ir mazāki, tad atņemam šķērsām.
Tagad mēģiniet pats atrisināt šādus piemērus:
a) 12 x 15 = ___; b) 13 x 15 = ___; c) 12 x 12 = ___; d) 13 x 13 = ___; e) 12 x 14 = ___; f) 12 x 16 = ___; g) 14 x 14 = ___; h) 15 x 15 = ___; i) 12 x 18 = ___; j) 16 x 14 = ___
Atbildes:
a) 180; b) 195; c) 144; d) 169; e) 168; f) 192; g) 196; h) 225; i) 216; j) 224
Ja kaut kur pieļāvāt kļūdu, vēlreiz izlasiet sadaļu un uzziniet, ko izdarījāt nepareizi, pēc tam mēģiniet vēlreiz atrisināt piemērus.
Kā jūs reizinātu 12 un 21? Apskatīsim šo piemēru.
Kā atsauces skaitli ņemam 10. Abi faktori ir lielāki par 10, tāpēc virs tiem zīmējam apļus. 12 ir lielāks par 10 reizi 2 un 21 reizi 11, tāpēc mēs ievadām 2 un 11 atbilstošajos apļos. 21 plus 2 ir vienāds ar 23, kas, reizinot ar 10, ir 230. 2 reiz 11 ir 22, kas, pieskaitot 230, ir 252.
Pilnībā atrisinātais piemērs izskatās šādi:
Skaitļu, kas ir lielāki par 100, reizināšana
Vai šo metodi var izmantot, lai reizinātu skaitļus, kas lielāki par 100? Protams.
Lai reizinātu 106 ar 104, izmantojiet 100 kā atsauces numuru.
Faktori ir lielāki par atsauces skaitli 100, tāpēc mēs apzīmējam apļus virs 106 un 104. Cik tie ir lielāki par 100? Par 6 un 4. Ierakstiet 6 un 4 apļos. Pirms tiem ir jābūt plus zīmei (tāpat kā pirms pozitīvajiem skaitļiem), jo 106 ir 100 plus 6 un 104–100 plus 4.
Salieciet to šķērsām. 106 plus 4 ir vienāds ar 110. Aiz vienādības zīmes ierakstīsim 110.
Sareizināsim 110 ar atsauces skaitli 100. Kā jebkuru skaitli reizināt ar 100? Pievienojiet divas nulles labajā pusē. Mēs iegūstam starprezultātu: 11000.
Tagad sareizināsim skaitļus apļos: 6 x 4 = 24. Pievienojiet rezultātu 11000 un iegūstiet 11024.
Pilnībā atrisinātais piemērs izskatās šādi:
Mēģiniet pats atrisināt dažus piemērus:
a) 102 x 114 = ___; b) 103 x 112 = ___; c) 112 x 112 = ___; d) 102 x 125 = ___
Atbildes:
a) 11628; b) 11536; c) 12544; d) 12750
Nedaudz praktizējot, jūs varēsiet atrisināt visus šādus piemērus bez pildspalvas un papīra. Tas būs ļoti iespaidīgi citu cilvēku acīs.
Piemēru risināšana galvā
Izmantojot iepriekš minēto pieeju, ļoti svarīgi ir tas, kas parādās jūsu prāta acīs vai tas, ko jūs sakāt sev. Tas var palīdzēt atrisināt problēmas vieglāk un ātrāk.
Sareizināsim 16 ar 16 un tad redzēsim, ko mēs varētu sev pateikt.
Salieciet to šķērsām. 16 plus 6 (no otrā koeficienta 16) ir vienāds ar 22. Pēc tam reiziniet ar 10 un iegūstiet 220. 6 reizināts ar 6 ir 36. Vispirms pievienojiet 30 un pēc tam 6. 220 plus 30 ir vienāds ar 250, plus vēl 6 – mēs iegūstam 256..
Mēs varētu sev teikt: «Sešpadsmit plus seši, divdesmit divi, divi simti divdesmit. Trīsdesmit seši, divi simti piecdesmit seši.» Kad esat apguvis prasmes, pusi no tām varat izlaist. Jums nebūs jākomentē burtiski katrs jūsu spertais solis. Pietiks pateikt: «Divdesmit divi, divi simti piecdesmit seši.»
Praktizējiet, kā jūs runājat par risinājumu ar sevi. Aprēķina laikā pateikt tikai būtisko, risinājuma laiks tiek samazināts vairāk nekā uz pusi.
Kā jūs savā galvā izskaitļojat 7x8? Jūs uzreiz iztēlojaties skaitļus 3 un 2 apļos zem 7 un 8. Pēc tam no 7 atņemiet 2 (vai 3 no 8) un uzreiz pēc reizināšanas ar 10 sakiet skaļi: «Piecdesmit». 3 reiz 2 ir vienāds ar 6. Jūs gandrīz bez pauzes skaļi pateiksit: «Piecdesmit… seši.»
Kā ar 6x7?
Jūs uzreiz iztēlojaties skaitļus 4 un 3 apļos zem 6 un 7. No 6 mīnus 3 veido 3, tāpēc sakāt sev: «Trīsdesmit». 4 pa 3 dod 12, plus 30–42. Jūs vienkārši sakāt sev: «Trīsdesmit, četrdesmit divi.»
Nav ļoti grūti, vai ne? Jo vairāk piemēru jūs atrisināsiet pats, jo vieglāk jums būs veikt šos aprēķinus.
Kad izmantot atsauces numuru?
Cilvēki man jautā: «Kad jums vajadzētu izmantot atsauces numuru?» Iepriekšējais piemērs sniedz atbildi uz šo jautājumu. Aprēķinot galvā reizinājumu 6 reiz 7, jūs automātiski izmantojat atsauces numuru – 10. Jūsu starprezultāts ir 30. Jūs sakāt: «Trīsdesmit». Tad jūs aprēķināt: 4 reiz 3 ir vienāds ar 12. Jūs nesakiet skaļi: «Trīsdesmit divpadsmit». Jūs zināt, ka jums ir jāpievieno 12 līdz 30, lai iegūtu atbildi.
Atbilde ir vienkārša: vienmēr izmantojiet atsauces numuru.
Apgūstot šeit aprakstītās metodes, jūs atklāsiet, ka jūs automātiski izmantojat atsauces numuru pat tad, ja aprēķinu laikā to vairs nepierakstāt.
Metožu kombinācija
Apskatīsim šādu piemēru:
Tas var radīt zināmas grūtības, ja mēs nezinām, cik daudz ir 8 x 7. Mēs varam uzzīmēt vēl pāris apļus zem pirmajiem, lai aprēķinātu reizinājumu 8 x 7. Piemērs tagad izskatās šādi:
Atņemiet 8 no 93, atņemot 10 un pievienojot 2. 93 mīnus 10 ir vienāds ar 83, plus 2 – mēs iegūstam 85. Reiziniet ar atsauces skaitli 100 un iegūstiet starprezultātu: 8500. Lai reizinātu 8 ar 7, izmantojiet apakšējo skaitļu rindu apļos, tas ir 2 un 3.
7 – 2 = 5 un 2 x 3 = 6
Atbilde ir 56. Piemēra risinājums tagad izskatās šādi:
Varat arī, piemēram, reizināt 86 ar 87.
Varat izmantot tikko iemācīto metodi, lai reizinātu skaitļus no 10 līdz 20.
To visu var izdarīt savā galvā pēc nelielas prakses.
Izmēģiniet tālāk norādītos piemērus.
a) 92 x 92 = ___; b) 91 x 91 = ___; c) 91 x 92 = ___; d) 88 x 85 = ___; e) 86 x 86 = ___; e) 87 x 87 = ___
Atbildes:
a) 8464; b) 8281; c) 8372; d) 7480; e) 7396; e) 7569
Šajā grāmatā aprakstīto metožu izmantošana kopā paver patiesi neierobežotas skaitļošanas iespējas. Eksperimentējiet paši.