Геометрия. 7-9 класс

Углы

Углы бывают четырех видов:

Углы на пересекающихся прямых

Углы, которые находятся напротив друг друга, называются вертикальными. Они равные.

Углы, которые находятся рядом и образуют прямую (или развернутый угол) называются смежными. В сумме они составляют 180 градусов.

Углы на двух параллельных прямых и секущей

Соответственные углы равны.

Внутренние накрест лежащие углы также равны

Внешние накрест лежащие углы также равны

Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов

Внешние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов

Градусная мера углов

Углы измеряются в градусах « о», минутах « ’», и секундах « ”»

До 9 класса достаточно знать о градусах. О минутах и секундах рассказывают в 10 классе на уроках Алгебры, в разделе «Тригонометрия».

Измерить градусную меру угла можно транспортиром :

Общие сведения о треугольниках

Общие сведения, которые касаются всех треугольников:

1.Сумма углов в любом треугольнике равна ста восьмидесяти градусам

2.У любого треугольника есть средняя линия, длина которой равна половине основания.

Средняя линия (K M) – это отрезок, который соединяет середины сторон, т.е. K – середина AB, M – середина BC.

Значит AK=KB, CM=BM

а (основание для средней линии – это сторона, параллельная ей), т.е.

3.Кратчайшее расстояние от точки до прямой – перпендикуляр. Это понимание нужно для решений некоторых задач, где рисуя перпендикуляр то получается либо высота, либо прямоугольный треугольник , либо

4.Площадь треугольника где a – основание (сторона, на которую опущена сторона), – это высота, опущенная на сторону а.

где b – это основание, а

– это высота, опущенная на основание.

Т.е. площадь можно найти, используя половину произведения ЛЮБОЙ стороны и высоты, ОБЯЗАТЕЛЬНО опущенной именно на эту сторону.

5.Высота – это отрезок, концы которого соединяют вершину треугольника и противоположную сторону так, что сторона и отрезок образуют (прямой угол).

6.Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

7.Биссектриса – это отрезок, исходящий из вершины на противоположную сторону и делящий угол пополам.

Виды и свойства треугольников.

Что такое треугольник, думаю, знают все: еще с начальной школы знаем, что такая фигура имеет три угла, три стороны и три вершины. Разберемся теперь, какие треугольники бывают.

В зависимости от углов:

остроугольные (все углы острые, меньше 90°)

тупоугольные (один из углов тупой, больше 90°)

прямоугольные (один из углов прямой, 90°)

В зависимости от сторон:

произвольный (все стороны и углы разные)

равнобедренный (две стороны равны)

равносторонний (три стороны равны)

В планиметрии рассматривают: прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники – они немного особенные и свойств у них много, которые надо знать.

У остроугольного нет особенностей.

У тупоугольного есть одна: три высоты будут пересекаться вне треугольника.

Прямоугольный:

Стороны, прилежащие к углу в 90°, называются катетами

Сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой

Свойства:

Два острых угла дают в сумме 90°. (Сумма углов в треугольнике составляет 180°, в прямоугольном – один угол прямой, т.е. 90°, 180°-90°=90°, таким образом на два острых угла приходится только 90°.)

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Равнобедренный:

Равные стороны называются боковыми, третья- основанием. Боковые стороны равны по определению.

Свойства:

Углы при основании равны.

В р/б треугольнике отрезок, проведенный из вершины к основанию, являющийся высотой (является перпендикуляром, опущена под 90°), также будет и медианой (делит сторону пополам), и биссектрисой (делит угол пополам).

Равносторонний:

Является всегда равнобедренным. Все стороны в равностороннем треугольнике равны.

Свойства:

Все углы равны, по 60°.

Все отрезки, проведенные из вершин к сторонам, являющиеся высотой, одновременно являются медианами и биссектрисами. Т.е. медиана, биссектриса и высота – это один и тот же отрезок.